二次代数、Yang-Baxter方程与Artin-Schelter正则性

我们研究域$\textbf{k}$上的二次代数。我们证明，一个$n$生成的PBW代数$A$具有有限整体维数和多项式增长当且仅当其Hilbert级数为$H_A(z)= 1 /(1-z)^n$。当代数$A$具有量子二项式关系（即定义关系是非退化的无平方二项式$xy-c_{xy}zt$，系数$c_{xy}\in \textbf{k}$非零）时，可以得出大量结论。在这种情况下，各种良好的代数和同调性质密切相关。主要结果表明，对于$n$生成的量子二项式代数$A$，以下条件等价：(i) A是具有有限整体维数的PBW代数；(ii) A是PBW代数且具有多项式增长；(iii) A是Artin-Schelter正则PBW代数；(iv) $A$是Yang-Baxter代数；(v) $H_A(z)= 1/(1-z)^n$；(vi) 对偶$A^{!}$是量子Grassmann代数；(vii) A是二项式斜多项式环。因此，对于量子二项式代数，整体维数为$n$的Artin-Schelter正则PBW代数的分类问题等价于阶为$n$的集合$X$上Yang-Baxter方程$(X,r)$的无平方集合论解的分类。