Polishchuk 与 Positselski 关于二次代数一书中的两个问题

在 Polishchuk 和 Positselski 的著作《Quadratic algebras》[23] 中，考虑了具有少量生成元（n=2,3）的代数。书中列出了某些关系数 r 下可能的 Hilbert 级数，并指出了哪些级数可作为 Koszul 代数的级数出现。第一个无法完成此操作的情形，即三个生成元 n=3 和六个关系 r=6 的情形，被表述为一个开放问题。我们在此给出了该问题的完整解答，即对于 dim A_1=dim A_2=3 的二次代数，我们列出了所有可能的 Hilbert 级数，并找出了哪些可以来自 Koszul 代数，哪些不能。作为该分类的一个结果，我们发现了一个代数，它构成了同一本书 [23]（第 7 章，第 1 节，猜想 2）中另一个问题的反例，该猜想指出具有有限全局同调维数 d 的 Koszul 代数满足 dim A_1 >= d。具体而言，由关系 xx+yx=xz=zy=0 给出的 3 生成元代数 A 是 Koszul 代数，且其 Koszul 对偶代数 A^! 具有 4 次的 Hilbert 级数：H_{A^!}(t)= 1+3t+3t^2+2t^3+t^4，因此 A 的全局同调维数为 4。