幂单仿射自同构的二次与三次不变量

设$K$为任意特征零的域，$P_n:= K[ x_1, ..., x_n]$为多项式代数，且$P_{n, x_1}:= K[x_1^{-1}, x_1, ..., x_n]$，其中$n\geq 2$。设$\s' \in {\rm Aut}_K(P_n)$由下式给出：$$x_1\mapsto x_1-1, \quad x_1\mapsto x_2+x_1,\quad ... ,\quad x_n\mapsto x_n+x_{n-1}.$$ 证明不变量代数$F_n':= P_n^{\s'}$是一个含$n-1$个变量的多项式代数，它由显式给出的$[\frac{n}{2}]$个二次与$[\frac{n-1}{2}]$个三次（自由）生成元生成。设$\s \in {\rm Aut}_K(P_n)$由下式给出 %$$\s \in {\rm Aut}_K(P_n):$$ $x_1\mapsto x_1, \quad x_1\mapsto x_2+x_1, \quad ... ,\quad x_n\mapsto x_n+x_{n-1}.$ 众所周知，不变量代数$F_n:= P_n^\s$是有限生成的（Weitzenböck定理，\cite{Weitz}，1932），其超越次数为$n-1$，并且可以给出一个显式超越基，其中元素次数为$1, 2, 3, ..., n-1$。然而，寻找$F_n$的显式生成元是一个古老的开问题。我们找到了二次不变量的显式向量空间基，并证明不变量代数$P_{n, x_1}^\s$是$K[x_1, x_1^{-1}]$上的含$n-2$个变量的多项式代数，它由显式给出的$[\frac{n-1}{2}]$个二次与$[\frac{n-2}{2}]$个三次（自由）生成元生成。这些二次与三次不变量的系数揭示了仿射自同构不变量及$SL_2$-不变量的“不可预测组合”。