Leibniz 代数中的对称多项式及其内自同构

设 $L_n$ 为特征零域 $K$ 上由集合 $X_n=\{x_1,\ldots,x_n\}$ 生成的自由亚交换 Leibniz 代数。这是 2 类可解 Leibniz 代数簇中秩为 $n$ 的自由代数。若对 $\{1,\ldots,n\}$ 的每个置换 $\sigma$ 有 $s(x_{\sigma(1)},\ldots,x_{\sigma(n)})=s(x_1,\ldots,x_n)$，则称元素 $s(X_n)\in L_n$ 为对称的。 $L_n$ 的对称多项式集合 $L_n^{S_n}$ 是对称群 $S_n$ 的不变代数。设 $K[X_n]$ 为以 $X_n$ 中元素为不定元的通常多项式代数。 $K[X_n]^{S_n}$ 的刻画已为人知，且交换子理想 $L_n'$ 中的代数 $(L_n')^{S_n}$ 是右 $K[X_n]^{S_n}$-模。我们给出右 $K[X_n]^{S_n}$-模 $(L_n')^{S_n}$ 中元素的显式形式。此外，我们确定了代数 $L_n^{S_n}$ 的内自同构群 ${\rm Inn}(L_{n}^{S_n})$ 的刻画。这些发现可视为对近期关于秩 $n$ 自由亚交换 Lie 代数所得结果的推广。