自由交换代数自同态半群的自同构

我们描述了任意域 $K$ 上多项式环 $K[x_1,...,x_n]$ 的自同态半群 $\End(K[x_1,...,x_n])$ 的自同构群。对于交换代数簇 $\mathcal{CA}$ 的有限生成自由交换-结合代数范畴的自同构群，也得到了类似的结果。这解决了 B. Plotkin 提出的两个问题 (\cite{24}, 问题 12 和 15)。更确切地说，我们证明了如果 $\varphi\in \Aut\End(K[x_1,...,x_n])$，则存在半线性自同构 $s:K[x_1,...,x_n]\to K[x_1,...,x_n]$，使得对于任意 $g\in\End(K[x_1,...,x_n])$，有 $\varphi(g)=s\circ g\circ s^{-1}$。这推广了 A. Berzins 针对无限域 $K$ 所获得的结果。