自由模、自由半模与自由李模的范畴的自同构

在泛代数簇 $\Theta$ 上的代数几何中，由 $\Theta$ 的有限生成自由代数构成的范畴 $\Theta^{0}$ 的自同构群 $Aut(\Theta^{0})$ 极为重要。本文中，对自由（半）模与自由李模的范畴定义了半内自同构；进而，在（半）环的自然条件下，证明了这些范畴的所有自同构都是半内的。因此我们证明了对 IBN-半环 $R$（IBN-半环是具 IBN 的环的半环类似物）上的半模簇 $_{R}\mathcal{M}$，所有 $Aut(_{R}\mathcal{M}^{0})$ 的自同构都是半内的。从而对广泛的一类环，这解决了文献 \cite{plotkin:slotuag} 中遗留的问题 12；特别地，对 Artinian（Noetherian、$PI$-）环 $R$，或除法半环 $R$，$Aut(_{R}\mathcal{M}^{0})$ 的所有自同构都是半内的。