$\mathbb{P}^1(\bar{\mathbb{F}}_p)$ 自同态的自同构群

对于任意代数闭域 $K$ 及任意次数至少为 2 的 $\mathbb{P}^1(K)$ 的自同态 $f$，其自同构是与 $f$ 交换的 M"obius 变换，这些变换构成 $\operatorname{PGL}_2(K)$ 的一个有限子群。在复动力系统模空间中，具有非平凡自同构的映射的轨迹已被详细研究，并且可追溯到 Klein 的构造具有指定自同构群的映射的技术早已存在。我们研究当 $K$ 为有限域的代数闭包 $\bar{\mathbb{F}}_p$ 时的相应问题。我们利用 $\operatorname{PGL}_2(\bar{\mathbb{F}}_p)$ 的有限子群分类证明每个有限子群都可实现为自同构群。为构造例子，我们使用模不变量理论的方法。然后，我们计算 $\bar{\mathbb{F}}_p$ 上次数为 $2$ 且具有非平凡自同构的映射的轨迹，展示其几何与可能的自同构群如何依赖于素数 $p$。