有限维单李代数的局部自同构

设 ${\mathfrak g}$ 为特征为 $0$ 的代数闭域 $K$ 上的有限维单李代数。线性映射 $\varphi:{\mathfrak g}\to {\mathfrak g}$ 称为局部自同构，若对 ${\mathfrak g}$ 中每个 $x$ 存在 ${\mathfrak g}$ 的自同构 $\varphi_x$ 使得 $\varphi(x)=\varphi_x(x)$。我们证明线性映射 $\varphi:{\mathfrak g}\to {\mathfrak g}$ 是局部自同构当且仅当它是自同构或反自同构。