Cayley 代数的局部与 $2$-局部自同构

本文致力于描述任意域 $\mathbb{F}$ 上 Cayley 代数的局部与 2-局部自同构。给定具有范数 $n$ 的 Cayley 代数 $\mathcal{C}$，令 $O(\mathcal{C},n)$ 为相应的正交群。我们证明 $\mathcal{C}$ 的所有局部自同构的群与群 $\{\varphi\in O(\mathcal{C},n)\mid \varphi(1)=1\}$ 重合。进一步我们证明 2-局部自同构的行为依赖于 Cayley 代数是分裂的还是可除的。分裂 Cayley 代数上的每个 2-局部自同构均为自同构，即若 $\textrm{char}\mathbb{F}\neq 2,3$ 它们构成例外李群 $G_2(\mathbb{F})$。另一方面，在域 $\mathbb{F}$ 上的可除 Cayley 代数上，2-局部自同构群与局部自同构群重合，且同构于群 $\{\varphi\in O(\mathcal{C},n)\mid \varphi(1)=1\}$。