Cayley 代数的局部与 2-局部导子

本文致力于刻画任意域 $\mathbb{F}$ 上 Cayley 代数的局部与 $2$-局部导子。给定具有范数 $\mathfrak{n}$ 的 Cayley 代数 $\mathcal{C}$，令 $\mathcal{C}_0$ 为其迹为 $0$ 的元素构成的子空间。我们证明 $\mathcal{C}$ 的所有局部导子空间与 Lie 代数 $\{d\in (\mathcal{C},\mathfrak{n}) | d(1)=0\}$ 重合，该代数同构于正交 Lie 代数 $(\mathcal{C}_0,\mathfrak{n})$。进一步我们证明，令人惊讶的是，$2$-局部导子的行为依赖于 Cayley 代数是分裂的还是可除的。分裂 Cayley 代数上的每个 $2$-局部导子都是导子，即若 $\textrm{char}\mathbb{F}\neq 2,3$ 它们构成例外 Lie 代数 $\mathfrak{g}_2(\mathbb{F})$。另一方面，在域 $\mathbb{F}$ 上的可除 Cayley 代数上，$2$-局部导子集合与局部导子集合重合，且它们同构于 Lie 代数 $(\mathcal{C}_0,\mathfrak{n})$。作为推论，我们获得了特征 $\neq 2,3$ 的域上七维单非 Lie Malcev 代数的局部与 $2$-局部导子的刻画。