有限维代数的自同构与导子

设 $A$ 是域 $F$ 上的有限维代数，且 char$(F)\ne 2$。我们证明，满足对每个 $x\in A$ 有 $xD(x)x\in [A,A]$ 的线性映射 $D:A\to A$ 是一个内导子与一个像包含于 $A$ 的根中的线性映射之和。进一步假设 $A$ 是半单的且 char$(F)\ne 3$，我们证明线性映射 $T:A\to A$ 满足对每个 $x\in A$ 有 $T(x)^3- x^3 \in [A,A]$，当且仅当存在 $A$ 的乘法代数中的 Jordan 自同构 $J$ 以及满足 $\alpha^3=1$ 的中心元 $\alpha$，使得对所有 $x\in A$ 有 $T(x)=\alpha J(x)$。这两个结果被应用于局部导子与局部（Jordan）自同构的研究。特别地，第二个结果被用于证明：有限维单代数 $A$（定义在 char$(F)\ne 2,3$ 的域 $F$ 上）的每一个局部 Jordan 自同构都是 Jordan 自同构。