Jordan 映射与零 Lie 积确定代数

设 $A$ 是域 $F$ 上满足 ${\rm char}(F)\ne 2$ 的代数。若 $A$ 作为代数由 $[[A,A],[A,A]]$ 生成，则对任意斜对称双线性映射 $\Phi:A\times A\to X$（其中 $X$ 是 $F$ 上的任意向量空间），条件 $\Phi(x^2,x)=0$（对所有 $x\in A$）蕴含 $\Phi(xy,z) +\Phi(zx,y) + \Phi(yz,x)=0$（对所有 $x,y,z\in A$）。这适用于 $A$ 是否为零 Lie 积确定代数的问题，并可用于证明从 $A$ 到半素代数 $B$ 的 Jordan 同态是同态与反同态之和。