矩阵代数上Jordan乘性映射的分类

设 $M_n(\mathbb{F})$ 为特征不等于2的域 $\mathbb{F}$ 上的 $n \times n$ 矩阵代数。若 $n\ge 2$，我们证明任意映射 $\phi : M_n(\mathbb{F}) \to M_n(\mathbb{F})$ 是Jordan乘性的，即满足函数方程 $$\phi(XY+YX)=\phi(X)\phi(Y)+\phi(Y)\phi(X), \quad \text{对于所有 } X,Y \in M_n(\mathbb{F})$$ 当且仅当以下情况之一成立：要么 $\phi$ 是常数映射，等于 $M_n(\mathbb{F})$ 中某个幂等元 $P$ 的 $1/2$；要么存在 invertible 矩阵 $T \in M_n(\mathbb{F})$ 和一个环单同态 $\omega: \mathbb{F} \to \mathbb{F}$，使得 $$\phi(X)=T\omega(X)T^{-1} \quad \text{或 } \quad \phi(X)=T\omega(X)^tT^{-1}, \quad \text{对于所有 } X \in M_n(\mathbb{F})$$ 其中 $\omega(X)$ 表示对矩阵 $X$ 的每个分量依次应用 $\omega$ 得到的矩阵。在 particular 中，任何满足 $\phi(0)=0$ 的Jordan乘性映射 $\phi : M_n(\mathbb{F}) \to M_n(\mathbb{F})$ 自动是可加的。当 $\mathbb{F}$ 的特征为2时，上述类似描述不成立。