零 Lie 积决定的 Banach 代数 II

称 Banach 代数 $A$ 为零 Lie 积决定的，如果每个满足当 $ab=ba$ 时 $\varphi(a,b)=0$ 的连续双线性泛函 $\varphi \colon A\times A\to \mathbb{C}$ 都具有 $\varphi(a,b)=\omega(ab-ba)$ 的形式（对于某个 $\omega\in A^*$）。我们证明，只要以下三个条件之一成立，$A$ 就具有该性质：(i) $A$ 是具有性质 $\mathbb{B}$ 且含有有界逼近单位的弱顺从 Banach 代数；(ii) 从 $A$ 到 $A^*$ 的每个连续循环 Jordan 导子都是内导子；(iii) $A$ 是某个具有有界逼近单位的循环顺从 Banach 代数上所有 $n\times n$ 矩阵（其中 $n\ge 2$）构成的代数。