对称理想的准素分解

我们提出了一种用于对称理想准素分解的有效方法。设 $K[X]=K[x_1,\ldots,x_n]$ 为域 $K$ 上的 $n$ 元多项式环，$\mathfrak{S}_n$ 为 $n$ 阶对称群。我们考虑 $\mathfrak{S}_n$ 在 $K[X]$ 上的典范作用，即对于 $\sigma\in \mathfrak{S}_n$，有 $\sigma(f(x_1,\ldots,x_n))=f(x_{\sigma(1)},\ldots,x_{\sigma(n)})$。对于 $K[X]$ 的理想 $I$，若对任意 $\sigma\in \mathfrak{S}_n$ 都有 $\sigma(I)=I$，则称 $I$ 为{\em 对称}理想。对于对称理想 $I$ 的一个极小准素分解 $I=Q_1\cap \cdots \cap Q_r$，对任意 $\sigma\in \mathfrak{S}_n$，$\sigma(I)=\sigma (Q_1)\cap \cdots \cap \sigma(Q_r)$ 也是 $I$ 的一个极小准素分解。我们利用这一性质，从部分准素分量出发，高效地计算出 $I$ 的完整准素分解。我们通过在计算机代数系统 Risa/Asir 中实现该算法，研究了其有效性。