有限维李代数的谱不变量

对于具有基 $\{x_1,x_2,\cdots,x_n\}$ 的李代数 ${\mathcal L}$，其相伴的特征多项式 $Q_{{\mathcal L}}(z)$ 是线性束 $z_0I+z_1\text{ad} x_1+\cdots +z_n\text{ad} x_n$ 的行列式。本文证明 $Q_{\mathcal L}$ 在自同构群 $\text{Aut}({\mathcal L})$ 下不变。$Q_{\mathcal L}$ 的零簇与因式分解反映了 ${\mathcal L}$ 的结构。在 ${\mathcal L}$ 可解的情形下，已知 $Q_{\mathcal L}$ 是线性因子的乘积。这一事实引出了可解李代数的谱矩阵与 Poincaré 多项式的定义。给出了对幂零李代数的 $1$ 维扩张的应用。