有限维 Leibniz/Lie 代数的一个新不变量

对于域 $k$ 上的 $n$ 维 Leibniz/Lie 代数 $\mathfrak{h}$，我们引入一个新不变量 ${\mathcal A}(\mathfrak{h})$，称为 $\mathfrak{h}$ 的\emph{泛代数}，作为多项式代数 $k[X_{ij} \, | \, i, j = 1, \cdots, n]$ 经由由 $n^3$ 个多项式生成的理想所得的商。我们证明 ${\mathcal A}(\mathfrak{h})$ 容许唯一的双代数结构，使其成为所有在 $\mathfrak{h}$ 上余作用的交换双代数中的初始对象。新对象 ${\mathcal A} (\mathfrak{h})$ 是回答 Lie 代数理论中两个公开问题的关键工具。首先，我们证明 $\mathfrak{h}$ 的自同构群 ${\rm Aut}_{Lbz} (\mathfrak{h})$ 同构于有限对偶 ${\mathcal A} (\mathfrak{h})^{\rm o}$ 的所有可逆类群元组成的群 $U \bigl( G({\mathcal A} (\mathfrak{h})^{\rm o} ) \bigl)$。其次，对阿贝尔群 $G$，我们表明 $\mathfrak{h}$ 上所有 $G$-分次之集与所有双代数同态 ${\mathcal A} (\mathfrak{h}) \to k[G]$ 之集间存在双射。基于此，所有 $G$-分次被显式分类与参数化。${\mathcal A} (\mathfrak{h})$ 亦被用于证明任意有限维 Leibniz 代数 $\mathfrak{h}$ 存在相伴的泛交换 Hopf 代数。