Leibniz 代数的统一积及其应用

设 $\mathfrak{g}$ 为一个 Leibniz 代数，$E$ 为一个包含 $\mathfrak{g}$ 作为子空间的向量空间。所有在 $E$ 上包含 $\mathfrak{g}$ 作为子代数的 Leibniz 代数结构均由两个非阿贝尔上同调型对象显式描述并分类：${\mathcal H}{\mathcal L}^{2}_{\mathfrak{g}} \, (V, \, \mathfrak{g})$ 提供了稳定 $\mathfrak{g}$ 的同构分类，而 ${\mathcal H}{\mathcal L}^{2} \, (V, \, \mathfrak{g})$ 将从扩张问题的角度对所有此类结构进行分类——此处 $V$ 是 $\mathfrak{g}$ 在 $E$ 中的补空间。我们引入了一种称为统一积的广义积，作为我们方法的工具。两个 Leibniz 代数之间的交叉积（分别为双交叉积）被引入为统一积的特例：前者负责扩张问题，而后者负责分解问题。给定 Leibniz 代数扩张 $\mathfrak{g} \subseteq \mathfrak{E}$ 的所有补空间的描述与分类被作为分解问题的逆问题给出。它们由另一个上同调对象 ${\mathcal H}{\mathcal A}^{2}(\mathfrak{h}, \mathfrak{g} \, | \, (\triangleright, \triangleleft, \leftharpoonup, \rightharpoonup))$ 分类，其中 $(\triangleright, \triangleleft, \leftharpoonup, \rightharpoonup)$ 是与给定补空间 $\mathfrak{h}$ 相关联的典范匹配对。文中详细推导了若干示例。