扩张结构、Galois 群与超可解结合代数

设 $A$ 为域 $k$ 上的含幺结合代数。本文描述并分类了所有将 $A$ 作为给定余维数 $\mathfrak{c}$ 子代数的含幺结合代数。对于维数为 $\mathfrak{c}$ 的固定向量空间 $V$，显式构造了两个非阿贝尔上同调型对象：${\mathcal A}{\mathcal H}^{2}_{A} \, (V, \, A)$ 将在稳定 $A$ 的同构意义下分类所有此类代数，而 ${\mathcal A}{\mathcal H}^{2} \, (V, \, A)$ 则从 H"{o}lder 扩张问题的视角提供分类。我们引入了一种称为统一积 (unified product) 的新乘积作为方法的工具。经典的交叉积或代数的扭曲张量积均为统一积的特例。本文给出了两个主要应用：结合代数扩张 $A \subseteq B$ 的 Galois 群 ${\rm Gal} \, (B/A)$ 被显式描述为群 ${\rm GL}_k (V) \rtimes {\rm Hom}_k (V, \, A)$ 的半直积的一个子群，其中向量空间 $V$ 是 $A$ 在 $B$ 中的补空间。第二个应用涉及超可解代数，其被引入作为超可解 Lie 代数的结合代数对应物。文中给出了任意基域上超可解消代的若干显式例子，包括特征为二的情况，并说明了其困难之处。