李代数上的伽罗瓦群与群作用

如果$\mathfrak{g} \subseteq \mathfrak{h}$是域$k$上李代数的扩张，使得${\rm dim}_k (\mathfrak{g}) = n$且${\rm dim}_k (\mathfrak{h}) = n + m$，则伽罗瓦群${\rm Gal} \, (\mathfrak{h}/\mathfrak{g})$被明确描述为群的典范半直积${\rm GL} (m, \, k) \rtimes {\rm M}_{n\times m} (k)$的子群。证明了李代数的Artin型定理：若阶在$k$中可逆的群$G$作为自同构作用于李代数$\mathfrak{h}$，则$\mathfrak{h}$同构于斜交乘积$\mathfrak{h}^G \, \#^{\bullet} \, V$，其中$\mathfrak{h}^G$是不变量子代数，$V$是Reynolds算子的核。也计算了伽罗瓦群${\rm Gal} \,(\mathfrak{h}/\mathfrak{h}^G)$，突显了与经典域伽罗瓦理论的区别，后者对应群为$G$。证明了李代数的Hilbert定理90的对应物，并基于此描述了具有某类有限循环群作用的李代数$\mathfrak{h}$的结构。引入了有限维李代数的根式扩张，并证明其伽罗瓦群是可解的。提供了若干应用与例子。