$\frak{g}$-拟 Frobenius 李代数

提出了 Turaev 的二维同伦量子场论中 $\overline{G}$-Frobenius 代数的李版本。该李版本的基础是一种我们称之为 \textit{$\frak{g}$-拟 Frobenius 李代数} 的结构，其中 $\frak{g}$ 为有限维李代数。后者由一个拟 Frobenius 李代数 $(\frak{q},\beta)$ 以及一个左 $\frak{g}$-模结构组成，该结构通过导子作用于 $\frak{q}$ 且 $\beta$ 是 $\frak{g}$-不变的。从几何上看，$\frak{g}$-拟 Frobenius 李代数是与辛李群相关联的李代数结构，该辛李群带有由李群 $G$ 通过辛李群自同构作用所给出的作用。除几何外，$\frak{g}$-拟 Frobenius 李代数也可从范畴论的角度得到启发。具体而言，$\frak{g}$-拟 Frobenius 李代数对应于 $\mathbf{Rep}(\frak{g})$ 中的 \textit{拟 Frobenius 李对象}。若 $\frak{g}$ 现装备一个李双代数结构，则文献 \cite{KP} 中给出的 $\overline{G}$-Frobenius 代数的范畴表述表明，$\overline{G}$-Frobenius 代数的李版本是 $\mathbf{Rep}(D(\frak{g}))$ 中的一个拟 Frobenius 李对象，其中 $D(\frak{g})$ 是相伴的（半经典）Drinfeld 双重。我们证明，若 $\frak{g}$ 是一个拟三角李双代数，则每个 $\frak{g}$-拟 Frobenius 李代数都有一个诱导的 $D(\frak{g})$-作用，使其获得 $D(\frak{g})$-拟 Frobenius 李代数的结构。