有限宽度的分形恰无穷幂零李超代数

Grigorchuk 群和 Gupta-Sidki 群在现代群论中发挥着基础作用。它们的自然类比是自相似幂零李 $p$-代数。在特征零的情况下，不存在类似的李代数例子（Martinez 和 Zelmanov）。第二作者最近构造了一个 3 生成的自相似幂零精细分次李超代数，这表明 Martinez-Zelmanov 的结果向特征零李超代数的推广是无效的。现在，我们提出一个更方便的例子。我们构造了一个任意域上 2 生成的自相似李超代数 $\mathbf{R}$。与之前研究的许多例子不同，它具有清晰的单项基，我们找到了其结合包络代数 $\mathbf{A}$ 的清晰单项基，后者具有二次增长。代数 $\mathbf{R}$ 和 $\mathbf{A}$ 按生成元的多次度进行 $\mathbb{Z}^2$-分次，它们的 $\mathbb{Z}^2$-分量的位置由平面上成对的对数曲线所界定。$\mathbf{R}$ 的 $\mathbb{Z}^2$-分量至多是一维的，因此 $\mathbf{R}$ 的 $\mathbb{Z}^2$-分次是精细的。作为周期性的类比，我们确立了分次 $\mathbf{R}=\mathbf{R}_{\bar 0}\oplus\mathbf{R}_{\bar 1}$ 的齐次元素是 $\mathrm{ad}$-幂零的。在 $\mathbb{N}$-分次代数的情况下，与单代数接近的类比是恰无穷。我们证明了 $\mathbf{R}$ 是恰无穷的，但不是遗传恰无穷的。我们的例子接近于最小的可能例子，因为 $\mathbf{R}$ 具有线性增长，其增长函数 $\gamma_\mathbf{R}(m)\approx 3m$，$m\to\infty$。此外，其 $\mathbb{N}$-分次的度为宽度 4（$\mathrm{char} K\ne 2$）。在 $\mathrm{char}\, K=2$ 的情况下，我们得到一个宽度为 2 的李代数，但它不是薄的。我们的例子还表明，Martinez 和 Zelmanov 的结果向特征零李超代数的推广是无效的。