有限维 Lie 代数共轭图谱

本文引入有限维 Lie 代数 $L$ 的共轭图谱 $\Gamma(L)$, 其顶点为域 $\mathbb{F}$ 上 $L$ 的非平凡且 proper Lie 子代数, 两个顶点 $A$ 和 $B$ 当且仅当 $\langle A, B\rangle =L$ 时相邻。我们建立了一般结构性质, 包括通过 Frattini 子代数判定孤立顶点的特征, 以及以 $\mu$-代数为基准的完备性判据。我们对维数不超过 3 的所有 Lie 代数进行了分类 (以有限域 $\mathbb{F}_q$ 为例), 提供每个情形的明确描述。得到的图谱呈现出丰富的行为, 这取决于导数代数结构和 $\operatorname{ad}x$ 的作用。对于 $L\cong \mathfrak{sl}_2(\mathbb{F}_q)$, 我们确定了若干图谱不变量, 包括度序列、clique 数、染色数、支配数、直径和半径, 并证明 $\Gamma(L)$ 是连通的且非平面。图谱包含一个由非分割半单线和 Borel 子代数组成的大型 clique, 而零化数和分割半单线则拥有更受限的相邻结构, 这由它们包含在 Borel 子代数中所决定。