有限维Lie代数的零化图

设$L$为域$F$上的有限维Lie代数。本文引入\emph{零化图}$\Gamma_\mathfrak{N}(L)$，其顶点为$L \setminus \nil(L)$的元素，其中\n\n$$\nil(L) = \{x \in L \mid \langle x, y \rangle \text{为所有 } y \in L \text{的零化子}\},$$\n\n且两个顶点$x, y$若生成的Lie子代数为零化子，则相邻。我们给出了$\nil(L)$及其与超心$Z^*(L)$的若干特征，例如在特征为零时两者相等。我们证明了零化子在直和下表现良好，允许将$\Gamma_\mathfrak{N}(L)$在分量之间进行分解。本文还研究了$\Gamma_\mathfrak{N}(L)$的结构与组合性质，包括图是否连通的条件。我们描述了强自中心子代数的存在与连通性及顶点孤立性之间的关系。对代数$\mathfrak{t}(2,\mathbb{F}_q)$进行了显式计算，其中$\Gamma_\mathfrak{N}(L)$分解为$q+1$个分量，每个分量大小为$q(q-1)$，构成$(q^2-q-1)$的正则图。我们以SageMath中的算法构建$\Gamma_\mathfrak{N}(L)$，并提出关于有限域上高维结构、二分性和正则性的开放问题。