弱交换性与幂零性

我们继续分析李代数的弱交换性构造。这是李代数 $\chi(\mathfrak{g})$，由固定李代数的两个同构拷贝 $\mathfrak{g}$ 和 $\mathfrak{g}^{\psi}$ 生成，并满足关系 $[x,x^{\psi}]=0$（对所有 $x \in \mathfrak{g}$）。在本文中我们研究由所有 $x \in \mathfrak{g}$ 的 $x-x^{\psi}$ 生成的理想 $L =L(\mathfrak{g})$。我们得到了 $L$ 作为李代数的（无限）表示，并表明一般而言它不能化简为有限的。据此我们研究幂零性问题。我们表明若 $\mathfrak{g}$ 是类 $c$ 幂零的，则 $\chi(\mathfrak{g})$ 是类至多 $c+2$ 幂零的，且若 $\mathfrak{g}$ 是 2-生成的或 $c$ 为奇数，则该界可改进为 $c+1$。我们还得到了若 $\mathfrak{g}$ 是类 $2$ 或 $3$ 自由幂零时 $L(\mathfrak{g})$（从而 $\chi(\mathfrak{g})$）的具体描述。最后，利用 Gr"obner-Shirshov 基方法我们表明若 $\mathfrak{g}$ 是秩至少为 $3$ 的自由李代数，则交换理想 $R(\mathfrak{g}) = [\mathfrak{g}, [L, \mathfrak{g}^{\psi}]]$ 是无限维的。