初等李代数与李A-代数的进一步结果

设 $L$ 是特征为零的域 $F$ 上的有限维李代数。若 $L$ 的每个子代数都有平凡的 Frattini 理想，则称 $L$ 为初等的；若每个幂零子代数都是阿贝尔的，则称 $L$ 为 $A$-代数。本文是作者在《初等李代数与李A-代数》(J. Algebra 312 (2007), 891--901) 中发起的对这些代数研究的延续。若用 $\mathcal{A}$、$\mathcal{G}$、$\mathcal{E}$、$\mathcal{L}$、$\Phi$ 分别表示 $A$-代数、几乎代数代数、$E$-代数、初等代数和 $\phi$-自由代数的类，则证明：$\mathcal{L} \subset \Phi \subset \mathcal{G}$, $\mathcal{L} \subset \mathcal{A} \subset \mathcal{E}$ 且 $\mathcal{G} \cap \mathcal{A} = \mathcal{L}$。还证明了：若 $L$ 是半单李代数，且其所有极小抛物子代数都是 $\phi$-自由的，则 $L$ 是 $A$-代数，从而也是初等的。这需要抛物子代数的一些相当精细的性质。最后，给出了 $E$-代数和所有真子代数都是初等的李代数的刻画。