Witt 代数的幂零交换簇

设 $\mathfrak{g}$ 为特征 $p>3$ 的代数闭域 $k$ 上的 $p$ 维 Witt 代数。设 $\mathscr{N}={x\in\ggg\mid x^{[p]}=0}$ 为 $\mathfrak{g}$ 的幂零簇，$\mathscr{C}(\mathscr{N}):=\{(x,y)\in \mathscr{N}\times\mathscr{N}\mid [x,y]=0\}$ 为 $\mathfrak{g}$ 的幂零交换簇。作为 Premet 在经典 Lie 代数情形下结果 [A. Premet, Nilpotent commuting varieties of reductive Lie algebras. Invent. Math., 154, 653-683, 2003.] 的类比，我们证明簇 $\mathscr{C}(\mathscr{N})$ 是可约且等维的。精确给出了 $\mathscr{C}(\mathscr{N})$ 的不可约分量及其维数。此外，还确定了 Borel 子代数的幂零交换簇。