若干有限维限制李代数的幂零簇

在 1980 年代后期，A. Premet 猜想：在特征 $p>0$ 的代数闭域上，任意有限维限制李代数的幂零元素簇是不可约的。该猜想仍未解决，但已知对一大类单限制李代数成立，例如连通代数群的李代数，以及 Cartan 级数 $W, S$ 和 $H$。本论文中我们首先证明 Premet 猜想可约化为半单情形。证明是直接的。然而，在素特征下半单情形到单情形的约化非常不平凡，因为半单李代数不总是单理想的直和。随后我们考虑若干半单限制李代数。在 $p>2$ 的假设下，我们证明 Premet 猜想对如下半单限制李代数成立：其基座包含特殊线性李代数 $\mathfrak{sl}_2$ 与截断多项式环 $k[X]/(X^{p})$ 的张量积。接着我们将此例推广至基座包含 $S\otimes \mathcal{O}(m; \underline{1})$ 的半单限制李代数，其中 $S$ 为任意满足 $\text{ad} S=\text{Der} S$ 且其幂零簇 $\mathcal{N}(S)$ 不可约的单限制李代数，$\mathcal{O}(m; \underline{1})=k[X_1, \dots, X_m]/(X_1^p, \dots, X_m^p)$ 为 $m\geq 2$ 个变量的截断多项式环。最后一章中我们假设 $p>3$。我们对 Zassenhaus 代数 $W(1; n)$ 的极小 $p$-包络 $W(1; n)_{p}$ 在所有 $n\geq 2$ 下确认了 Premet 猜想。这是研究论文[3]（见论文）的主要结果，该文发表于 Journal of Algebra and Its Applications。