关于导子的幂零与可解 Lie 代数

设 $K$ 为一个域，$A$ 为一个整域的交换结合 $K$-代数。所有 $A$ 的 $K$-导子构成的 Lie 代数 $\text{Der } A$ 自然地是一个 $A$-模，若 $R$ 是 $A$ 的分式域，则 $R\text{Der } A$ 是 $R$ 上的向量空间。证明了若 $L$ 是 $R\text{Der } A$ 中秩为 $k$ 的幂零子代数（即满足 $\dim_{R}RL=k$），则 $L$ 的导出长度至多为 $k$，且 $L$ 在其常数域上是有限维的。对于特征为零的域上的可解 Lie 代数，其导出长度不超过 $2k$。本文刻画了来自 Lie 代数 $R\text{Der } A$ 中秩为 1 和 2（在 $R$ 上）的幂零与可解 Lie 代数。作为推论，我们对具有多项式、有理或形式系数的向量场的幂零与可解 Lie 代数获得了相同的估计。