$\mathfrak{pgl}_n$ 的交换簇

我们考虑特征为 $p > 0$ 的代数闭域上 Lie 代数 $\mathfrak{pgl}_n$ 的交换簇，即对 $\{ (A,B) \in \mathfrak{pgl}_n \times \mathfrak{pgl}_n \mid [A,B]=0 \}$ 的集合。我们证明，如果 $n=pr$，则恰好有两个不可约分支，其维数分别为 $n^2+r-1$ 和 $n^2+n-2$。我们还证明簇 $\{ (x,y) \in GL_n(k) \times GL_n(k) \mid [x,y]=\zeta I \}$ 是不可约的，维数为 $n^2 +n/d$，其中 $\zeta$ 是阶为 $d$ 的单位根且 $d$ 整除 $n$。