特征为 $[A,B] = \lambda I$ 的幂零对 $(A,B)$ 的变量

设 $k$ 为特征 $p >0$ 的代数闭域。我们考察特征为幂零的对 $(A,B)$ 且 $[A,B]=\lambda I$ 的变量，即集合 $X = \{ (A,B) \in M_n(k) \times M_n(k) \mid A,B \text{ 幂零}, [A,B]=\lambda I, \lambda \in k \}$。我们证明若 $n=pr$，则 $X$ 为不可约且维数为 $n^2$。