李代数上 $r$-元组的交换簇

设 $G$ 为定义在特征为 $p$ 的代数闭域 $k$ 上的单代数群，$\g$ 为 $G$ 的李代数。众所周知，当 $p$ 足够大时，$G$ 的第 $r$ 个 Frobenius 核的上同调环的谱同胚于 $\g$ 的幂零锥中 $r$-元组元素的交换簇 [Suslin-Friedlander-Bendel, J. Amer. Math. Soc, \textbf{10} (1997), 693--728]。在本文中，我们研究了交换簇 $C_r(\mathfrak{gl}_2)$、$C_r(\fraksl_2)$ 和 $C_r(\N)$ 的几何与代数性质，包括不可约性、奇异性、正规性和 Cohen-Macaulay 性，其中 $\N$ 是 $\fraksl_2$ 的幂零锥。我们的计算促使我们提出了关于 $r$-元组交换簇 Cohen-Macaulay 性的猜想。此外，在 $\g=\fraksl_2$ 的情况下，我们在每个元组中增加更多限制时，获得了关于交换簇的有趣结果。在 $\fraksl_3$ 的情况下，我们能够验证 $C_r(\fraku)$ 的上述性质。最后，通过将我们的计算应用于交换簇 $C_r(\overline{\calO_{\sub}})$（其中 $\overline{\calO_{\sub}}$ 是 $\fraksl_3$ 中次正则轨道的闭包），我们证明了幂零交换簇 $C_r(\N)$ 具有余维数 $\ge 2$ 的奇点。