Heisenberg-Weyl 代数的李结构

作为结合代数，Heisenberg-Weyl 代数 $\mathcal{H}$ 由两个元素 $A$、$B$ 生成，满足关系 $AB-BA=1$。然而，作为李代数（其中通常的交换子充当李括号），元素 $A$ 和 $B$ 无法生成整个空间 $\mathcal{H}$。我们确定了 $\mathcal{H}$ 的一个非幂零但可解的李子代数 $\mathfrak{g}$，并利用自由李代数基理论中的一些事实，给出了其由生成元和关系表示的呈现。在此呈现下，我们证明：对于某个代数同构 $\varphi:\mathcal{H}\longrightarrow\mathcal{H}$，李代数 $\mathcal{H}$ 由 $\mathfrak{g}$ 的生成元及其在 $\varphi$ 下的像共同生成，且 $\mathcal{H}$ 是 $\mathfrak{g}$、$\varphi(\mathfrak{g})$ 与 $\left[ \mathfrak{g},\varphi(\mathfrak{g})\right]$ 的和。