$q$-变形海森堡代数中的李多项式

设 $\mathbb{F}$ 为一个域，且 $q\in\mathbb{F}$。$q$-变形海森堡代数是指具有生成元 $A,B$ 和关系 $AB-qBA=I$ 的酉结合 $\mathbb{F}$-代数 $\mathcal{H}(q)$，其中 $I$ 是 $\mathcal{H}(q)$ 中的乘法单位元。所有 $A,B$ 中的李多项式的集合是由 $A,B$ 生成的 $\mathcal{H}(q)$ 的李子代数 $\mathcal{L}(q)$。如果 $q\neq 1$ 或 $\mathbb{F}$ 的特征不为 $2$，则方程 $AB-qBA=I$ 不能仅用李代数运算表示，但该方程仍对 $\mathcal{L}(q)$ 的李代数结构产生影响，我们对此进行了研究。我们证明，若 $q$ 不是单位根，则 $\mathcal{L}(q)$ 是 $\mathcal{H}(q)$ 的李理想，且所得商李代数是无限维且一步幂零的。