量子变形代数：相干态与特殊函数

首先利用参数集$\{q, l, \lambda\}$对 Heisenberg 代数进行变形，以生成一类新的广义相干态。在此框架下，精确计算了相关算符的矩阵元。证明了主要变形态统计量的亚泊松（sub-Poissonian）特性，并利用该性质确定了一种广义度量。随后提出了一种从变形单模振子代数的对易关系计算结构函数的统一方法，并推导出构建与变形代数相关联的相干态的自然途径。文中以已知的变形代数为例进行了说明。此外，我们推广了一类与亚纯函数相关的双参数变形 Heisenberg 代数，称为${\cal R}(p,q)$-变形代数。探究了相关的相干态映射族并计算了其对应的超几何级数。后者推广了已知的超几何级数，并给出了二项式定理的推广形式。所涉及的微分与积分概念推广了常规的$q$-及$(p,q)$-微分和积分。推导出了与${\cal R}(p,q)$-代数相容的 Hopf 代数结构。我们成功地通过三项递推关系及由相应产生和湮灭算符构建的关联量子代数，给出了 Rogers-Szeg"o 多项式的新表征，称之为${\cal R}(p,q)$-变形 Rogers-Szeg"o 多项式。还推导了连续${\cal R}(p,q)$-变形 Hermite 多项式及其递推关系。文中提供并讨论了新的代数关系。整个形式体系以统一方式呈现，将已知的相关结果作为特例直接导出。