通过导出括号构造的 $\mathfrak{gl}_{m|n}$ Lie 代数分类

导出括号提供了一种从分数 Lie 超代数中生成代数结构的机制，已在泊松几何、数学物理和 algebroid 理论中得到应用。本文中，我们对通过在特征为零的场 $\mathbb{K}$ 上构造的、由奇元素 $B$（满足 $B^2 = 0$）生成的从广义线性 Lie 超代数 $\mathfrak{gl}_{m|n}$ 所构成的 Lie 代数族进行完整的结构与同构分类。我们证明对于固定维数 $m$ 和 $n$，$\mathfrak{g}_{-1}^{B}$ 的同构类型完全由 $r=\operatorname{rank}(B)$ 决定。在任意维数下，两个此类代数若同构，当且仅当它们具有相同的秩 $r$ 且满足 $\{m,n\}=\{p,q\}$。我们显式计算了 Levi-Malcev 分解，证明半导体 Levi 因子同构于 $\mathfrak{sl}(r)$，并给出 solvable radical 与 center 的精确公式。