Lie 代数与 Lie 代数之间的关系

证明了任何 Lie 代数（即由仿射空间和满足仿射版本反对称性和雅可比恒等式的双线性括号构成的代数系统）都同构于一个联合一个元素和一个特定广义导数（按 Leger 和 Luks 的定义 [G.F. Leger \& E.M. Luks, Generalized derivations of Lie algebras, {\em J.\ Algebra} {\bf 228} (2000), 165--203}]）的 Lie 代数。这些 Lie 代数数据可以用于构建 Lie 代数，反之亦然，亦可唯一地从任何 Lie 代数纤维的 Lie 代数中推导出来。Lie 代数与（由额外数据丰富的）Lie 代数的密切关系可用于尝试通过后者对前者进行分类。特别是，对于具有简单 Lie 代数纤维 $\mathfrak{g}$ 的复数 Lie 代数，完全由一个标量和一个固定于 $\mathfrak{g}$ 自同构下的元素唯一确定，并且可被普遍地嵌入到 $\mathfrak{g}$ 加上一个导数的最大化延伸中。本文通过若干示例说明了该研究，这些示例包括所有具有一维、非阿贝尔二维、$\mathfrak{s}\mathfrak{l}(2,\mathbb{C})$ 和 $\mathfrak{s}\mathfrak{o}(3)$ 纤维的 Lie 代数。Lie 代数的 cocycle 延伸及其与切向 Lie 代数的 cocycle 延伸关系也简要讨论了。