关于李群上的完备仿射结构

李群 $G$ 中的左不变仿射结构与其李代数 $\mathfrak g=T_eG$ 上的左对称代数一一对应（“over”意指换位子 $[x,y]=xy-yx$ 与李括号一致；左对称代数可定义为使得左乘给出底层李代数的表示的李可容代数）。若 $G$ 仿射等价于 $\mathfrak g$，则仿射结构（及相应的左对称代数）是完备的。本文的主要结果表明，完备左对称代数容许一个标准分解：存在 Cartan 子代数 $\mathfrak h$，使得表示 $L$（由左乘给出）与 $\ad$ 的根子空间重合。于是对所有 $x\in\mathfrak h$，算子 $L(x)$ 与 $\ad(x)$ 有相等的半单部分。该分解唯一。对于标准分解由一维空间组成的单完备左对称代数，我们定义两类图并证明它们的一些性质。这使得对不大于 5 的维数描述这些图与代数成为可能。