Hilbert 环路代数双扩张的正能表示

具有相容 Hilbert 空间结构（即标量积不变）的实数李代数称为 Hilbert-Lie 代数。此类李代数是紧李代数的自然无限维类比；特别地，任何无限维单 Hilbert-Lie 代数 $\mathfrak{k}$ 对于某个无限集 $J$ 属于四种经典类型 $A_J$、$B_J$、$C_J$ 或 $D_J$ 之一。模仿仿射 Kac-Moody 代数的构造，可以考虑 $\mathfrak{k}$ 的仿射化，即 $\mathfrak{k}$ 上的（扭曲）环路代数的双扩张。这样的 $\mathfrak{k}$ 的仿射化 $\mathfrak{g}$ 关于某个 Cartan 子代数 $\mathfrak{h}$ 具有根空间分解，其对应根系统产生七种局部仿射根系统 (LARS) 之一：类型 $A_J^{(1)}$、$B^{(1)}_J$、$C^{(1)}_J$、$D_J^{(1)}$、$B_J^{(2)}$、$C_J^{(2)}$ 或 $BC_J^{(2)}$。令 $D\in\mathrm{der}(\mathfrak{g})$ 且 $\mathfrak{h}\subseteq\mathrm{ker}D$（$\mathfrak{g}$ 的对角导数）。则 $\mathfrak{g}$ 的每个最高权表示 $(\rho_{\lambda},L(\lambda))$（最高权为 $\lambda$）可扩展为半直积 $\mathfrak{g}\rtimes \mathbb{R} D$ 的表示 $\widetilde{\rho}_{\lambda}$。在本文中，我们刻画了所有使得表示 $\widetilde{\rho}_{\lambda}$ 为正能的偶 $(\lambda,D)$，即算子 $-i\widetilde{\rho}_{\lambda}(D)$ 的谱下有界。