Lie 代数表示的 varieties

我們研究了 Lie 代数表示的仿射 variety $L_{n}(\mathfrak{g})$，即將任意 $n$ 維 Lie 代數中的所有同態映射收集到固定的實半簡單 Lie 代數 $\mathfrak{g}$ 中。透過實幾何不變理論的技術，我們為該 variety 構造了自然的 moment map 和相關的能量功能，源於 $GL(n,\mathbb{R}) \times \text{Inn}(\mathfrak{g})$ 的作用。我們分析能量功能的臨界點並描述其結構。特別是，我們證明，每個半簡單對，即半簡單 Lie 代數的表示，都會在其軌道中全局最小化能量。作為結果，我們得到了半簡單同態映像剛性定理的初等證明，並推導了 Mostow 定理的新證明，即半簡單子代數存在相容的 Cartan 反演。後續關於更高能量臨界點結構的結果也得以得出。