乘性 Hom-Lie 代数的交换代数方法

设 $\mathfrak{g}$ 为有限维复李代数，$\textrm{HLie}_{m}(\mathfrak{g})$ 为 $\mathfrak{g}$ 上所有乘性 Hom-Lie 代数的仿射簇。我们使用计算理想论方法描述 $\textrm{HLie}_{m}(\mathfrak{gl}_{n}(\mathbb{C}))$，表明 $\textrm{HLie}_{m}(\mathfrak{gl}_{2}(\mathbb{C}))$ 由两个 1 维与一个 3 维不可约分支组成，并表明对 $n\geqslant 3$ 有 $\textrm{HLie}_{m}(\mathfrak{gl}_{n}(\mathbb{C}))=\{\textrm{diag}\{\delta,\dots,\delta,a\}\mid \delta=1\textrm{ 或 }0,a\in\mathbb{C}\}$。我们在 Heisenberg 李代数 $\mathfrak{h}_{2n+1}(\mathbb{C})$ 上构造了一族新的乘性 Hom-Lie 代数，并刻画了仿射簇 $\textrm{HLie}_{m}(\mathfrak{u}_{2}(\mathbb{C}))$ 与 $\textrm{HLie}_{m}(\mathfrak{u}_{3}(\mathbb{C}))$。我们还研究了 $\mathfrak{g}$ 上乘性 Hom-Lie 代数 $D$ 的导子代数 $\textrm{Der}_{D}(\mathfrak{g})$，并在 $D$ 上若干假设下证明 Hilbert 级数 $\mathcal{H}(\textrm{Der}_{D}(\mathfrak{g}),t)$ 为有理函数。