约化群李代数的模表示与 Humphreys 猜想

设 $G$ 是定义在特征为 $p > 0$ 的代数闭域上的连通约化代数群，并假设 $p$ 是 $G$ 的根系的好素数，$G$ 的导出子群是单连通的，且李代数 $\mathfrak{g} = \operatorname{Lie}(G)$ 容许一个非退化的 Ad$(G)$-不变对称双线性型。给定 $\mathfrak{g}$ 上的一个线性函数 $\chi$，记 $U_\chi(\mathfrak{g})$ 为与 $\chi$ 关联的 $\mathfrak{g}$ 的约化包络代数。由 Kac-Weisfeiler 猜想（现已成为定理），任意不可约 $U_\chi(\mathfrak{g})$-模的维数都能被 $p^{d(\chi)}$ 整除，其中 $2d(\chi)$ 是包含 $\chi$ 的余伴随 $G$-轨道的维数。在本文中，我们对 1990 年代由 Kac、Humphreys 和第一作者提出的自然问题给出肯定回答，并证明任意代数 $U_\chi(\mathfrak{g})$ 都容许一个维数为 $p^{d(\chi)}$ 的模。