$\mathfrak{gl}_n$ 的约化包络代数的极小维表示

设 $\mathfrak g = \mathfrak{gl}_N(k)$，其中 $k$ 是特征 $p > 0$ 的代数闭域，且 $N \in \mathbb Z_{\ge 1}$。设 $\chi \in \mathfrak g^*$ 并记 $U_\chi(\mathfrak g)$ 为相应的约化包络代数。由 Premet 证明的 Kac--Weisfeiler 猜想断言，任意有限维 $U_\chi(\mathfrak g)$-模的维数可被 $p^{d_\chi}$ 整除，其中 $d_\chi$ 是 $\chi$ 的余伴随轨道维数的一半。我们的主定理给出了维数为 $p^{d_\chi}$ 的 $U_\chi(\mathfrak g)$-模的分类。作为推论，我们推出它们全都是从一个对于某 Levi 子代数 $\mathfrak h$ 的 $U_0(\mathfrak h)$ 的 1 维模抛物诱导而来；我们将此视为 M{\oe}glin 关于 $U(\mathfrak{gl}_N(\mathbb C))$ 中完全本原理想的定理的模类比。为获得这些结果，我们归约到 $\chi$ 为幂零的情形，然后对相应的限制 $W$-代数的 1 维模进行分类。