$\mathfrak{s}\mathfrak{u}(n,1)$ 与 $\mathfrak{s}\mathfrak{o}(n,1)$ 的 ${\cal U}(\mathfrak{g})$ 之 $K-$结构

设 $G$ 为实单李代数 $\mathfrak{g}_0$（等于 $\mathfrak{s}\mathfrak{u}(n,1)$ 或 $\mathfrak{s}\mathfrak{o}(n,1)$）的伴随群，$K$ 为其极大紧子群，${\cal U}(\mathfrak{g})$ 为 $\mathfrak{g}_0$ 复化 $\mathfrak{g}$ 的泛包络代数，${\cal U}(\mathfrak{g})^K$ 为其 $K-$不变元子代数。根据 F. Knopp [3] 的结果，${\cal U}(\mathfrak{g})$ 作为 ${\cal U}(\mathfrak{g})^K-$模是自由的，因此存在 ${\cal U}(\mathfrak{g})$ 的一个 $K-$子模 $E$，使得乘法定义了 $K-$模同构 ${\cal U}(\mathfrak{g})^K\otimes E\longrightarrow{\cal U}(\mathfrak{g})$。我们证明 $E$ 等价于 $K$ 的正则表示，即每个 $\delta\in\hat{K}$ 在 $E$ 中的重数等于其维数。作为推论，我们得到对于任意有限维复 $K-$模 $V$，$K-$不变空间 $({\cal U}(\mathfrak{g})\otimes V)^K$ 是秩为 $\dim\,V$ 的自由 ${\cal U}(\mathfrak{g})^K-$模。