(g, k)-有限型模的几何途径

设 g 为复数域 C 上的半单李代数，k 为 g 中的一个约化子代数。若一个单 g-模 M 作为 k-模可分解为有限维 k-模的直和，则称 M 为 (g; k)-模。若一个单 (g; k)-模 M 的所有 k-同型分量均为有限维，则称 M 为有限型。对一个单 g-模 M，可赋予其反映“M 增长方向”的有趣不变量 V(M)、EuScript V(M) 和 L(M)。本文证明，对于给定的对 (g; k)，此类可能的不变量集合是有限的。设 K 为以 k 为李代数的约化李群。若一个 K-簇 X 具有 K 的 Borel 子群的开放轨道，则称 X 为 K-球面簇。设 W 为有限维 K-模。具有固定维数 (n_1;...; n_s) 的 W 的旗 (W_1,..., W_s) 集合是群 GL(W) 的齐性空间。我们称此类簇为部分 W-旗簇。本文对所有 K-球面部分 W-旗簇进行了分类。若存在常数 C_M，使得对任意单 k-模 E，M 中 E 的同型分量均为不超过 C_M 个 E 拷贝的直和，则称单 (g; k)-模为有界的。对任意单 sl(W)-模，可赋予一个部分 W-旗簇。本文证明，一个单 (sl(W); k)-模有界当且仅当对应的部分 W-旗簇为 K-球面簇。此外，我们证明对 (sl(W); k) 存在无穷维单有界模当且仅当 P(W) 为 K-球面簇。针对四种特殊情况，我们进一步阐述了有界模范畴及单有界模集合。