对称空间 G/K 上 K-不变向量场代数

当 $G$ 为复约化代数群且 $G/K$ 为约化对称空间时，$\C[G/K]$ 作为 $K$-模的分解由 Richardson 以非构造的方式得到，推广了 Kostant-Rallis 关于线性化问题（各向同性表示的调和分解）的著名结果。为得到 Richardson 结果的构造性版本，本文利用 $G/K$ 的几何与 $G$ 的 $K$-球表示研究无限维李代数 $\X(G/K)^K$（即 $K$-不变正则代数向量场）。假设 $G$ 半单且单连通，令 $\J$ 为 $G$ 上 $K$ 双不变函数代数。对适当的 $\psi \in \J$，构造了局部化 $\X(G/K)^K_{\psi}$ 的一组显式自由生成元。得到了 $K$-不变向量场用相应的从 $G$ 到 $G/K$ 的各向同性表示的 $K$-协变映射表示的交换子公式。在 $G/K$ 上其到 $G$ 的水平提升切于 $G/K$ 到 $G$ 的 Cartan 嵌入的向量场称为 \emph{平坦}。当 $G$ 为单连通单群时，证明了 $\X(G/K)^K$ 中每个元素皆平坦当且仅当 $K$ 半单。$G$ 的基本特征的梯度被证明生成 $G$ 上所有共轭不变向量场。这些结果应用于 $G = \SL(2,\C)$ 的伴随表示情形，构造了一个共轭不变微分算子，其核给出了 $\C[G]$ 的调和分解。