正特征下约化 Lie 代数的对合

设 $G$ 为特征 $\neq 2$ 的域 $k$ 上的约化群，令 ${\mathfrak g}=\Lie(G)$，令 $\theta$ 为 $G$ 的对合自同构，并令 ${\mathfrak g}={\mathfrak k}\oplus{\mathfrak p}$ 为相伴的对称空间分解。对于特征零的基域情形，$G^\theta$ 在 ${\mathfrak p}$ 上的作用自 Kostant 与 Rallis 的著名论文以来已被很好地理解。正特征下的此类理论则更难建立。此处我们基于几何不变论的一些工具，在（好的）正特征下建立相应结果。除其他结果外，我们证明 ${\mathfrak p}$ 的幂零元簇 ${\cal N}$ 具有一个稠密开轨道，且对商映射 ${\mathfrak p}\to{\mathfrak p}/G^\theta$ 的每一纤维同样成立。然而，我们表明 Richardson 所猜想的关于 $G$ 的相应命题并不成立。我们给出 ${\cal N}$ 不可约分支数目的一个新的（大体）无计算证明，推广了 Sekiguchi 在 $k={\mathbb C}$ 时的结果。最后，我们应用 Skryabin 的一个定理来描述无穷小不变量 $k[{\mathfrak p}]^{\mathfrak k}$。