非完美域上约化代数群的子群的完全可约性 3

设 $k$ 为非完美可分闭域，$G$ 为定义在 $k$ 上的（可能不连通的）约化群。我们研究 $G$ 的子群的 Serre 完全可约性概念的有理性问题。在我们先前的工作中，我们构造了 $G$ 的子群 $H$ 的例子，它们是 $G$-完全可约的，但在 $k$ 上不是 $G$-完全可约的（反之亦然）。在本文中，我们为这些构造提供了理论基础。为了说明我们的结果，我们在特征 $2$ 的 $D_4$ 型不连通约化群中给出了一个新的此类例子。然后，利用几何不变量理论，我们推广了上述理论结果，得到了关于任意仿射 $G$-簇中 $G(k)$-轨道（及 $G$-轨道）结构的新结果。我们将结果转化为球面建筑的语言，以提供一个拓扑视角。此外，还考虑了关于完全可约子群的中心化子问题和关于共轭类数量的问题。