紧致局部 Hermitian 对称空间中的几何圈与自守表示

设 $G$ 为线性连通非紧实单 Lie 群，$K\subset G$ 为 $G$ 的极大紧子群。假设 $K$ 的中心同构于 $\mathbb{S}^1$，使得 $G/K$ 为整体 Hermitian 对称空间。设 $\theta$ 为 $G$ 的固定 $K$ 的 Cartan 对合。设 $\Lambda$ 为 $G$ 的一致格，使得 $\theta(\Lambda)=\Lambda$。假设 $G$ 为 $SU(p,q), p<q-1, q\ge 5, SO_0(2,q)$, $Sp(n,\mathbb{R}), n\ne 4, SO^*(2n), n\ge 9$ 之一。则存在唯一不可约酉表示 $\mathcal{A}_\mathfrak{q}$，关联于满足 $R_+(\mathfrak{q})=R_-(\mathfrak{q})$ 的真 $\theta$-稳定抛物子代数 $\mathfrak{q}$，使得若对某个 $0<s\le R_+(\mathfrak{q})$ 有 $H^{s,s}(\mathfrak{g},K;A_{\mathfrak{q}',K})\ne 0$，则 $\mathcal{A}_{\mathfrak{q}'}$ 酉等价于平凡表示或 $\mathcal{A}_{\mathfrak{q}}$。作为推论，在对 $\Lambda$ 的适当假设下，我们证明 $\mathcal{A}_\mathfrak{q}$ 出现在 $L^2(\Gamma\backslash G)$ 中的重数对与 $\Lambda$ 可公度的\textit{任意}无挠格 $\Gamma\subset G$ 均为正。