约化群与整 Mumford-Tate 群的整模型

设 $G$ 是定义于 $p$-进域或数域 $K$ 上的约化代数群，$V$ 是 $G$ 的一个 $K$-线性忠实表示。向量空间 $V$ 中的一个格 $\Lambda$ 定义了 $G$ 在 $\mathscr{O}_K$ 上的一个模型 $\hat{G}_{\Lambda}$。人们可能想知道 $\Lambda$ 在多大程度上由群概形 $\hat{G}_{\Lambda}$ 所决定。本文证明，在格的集合上取一个自然等价关系后，对应于同一个模型 $\hat{G}_{\Lambda}$ 的 $\Lambda$ 只有有限多个。此外，我们将这一事实与阿贝尔簇的模空间联系起来如下：设 $\mathscr{A}_{g,n}$ 为带 $n$ 级结构的 $g$ 维主极化阿贝尔簇的模空间。我们证明，具有给定整一般 Mumford-Tate 群的 $\mathscr{A}_{g,n}$ 的特殊子簇至多只有有限多个。